Řešení a komentáře.

Špatné odpovědi jsou červené, správné odpovědi jsou zelené a podtržené.

61. Pomocí Pappus - Guldinových vět nelze vypočíst objem a povrch :

a) kužele,

b) krychle,

c) koule,

d) válce.

Pappus - Guldinovy věty slouží k výpočtu objemu a povrchu rotačně symetrických těles.

Rotačně symetrické těleso je těleso, které vznikne rotací plošného útvaru okolo osy.

objem	povrch
Objem vznikne rotací plochy okolo osy. (Tvořícím útvarem je plocha.)	Povrch vznikne rotací obvodové čáry okolo osy. (Tvořícím útvarem je obvodová čára.)
V je objem tělesa, S je obsah tvořící plochy, xT je souřadnice těžiště tvořící plochy.	S je plocha povrchu tělesa, l je délka tvořící obvodové čáry, xT je souřadnice těžiště tvořící čáry.

Pozor ! Označení S a x_T znamená v obou případech něco jiného !

a) Kužel výšky h o poloměru podstavy r.

objem	povrch
Objem kužele vznikne rotací trojúhelníku. Tvořícím útvarem je pravoúhlý trojúhelník.	Plášť kužele vznikne rotací povrchové úsečky. Tvořícím útvarem je povrchová úsečka. (Pláštěm zde myslíme povrchovou plochu bez podstavy!)
plocha tvořícího útvaru poloha těžiště tvořícího útvaru	délka tvořícího útvaru poloha těžiště tvořícího útvaru
	Zde S je povrch pláště bez podstavy ! Celkový povrch včetně podstavy je: kde druhý člen p·r^2 je plocha podstavy.

b) Krychle není rotačně symetrickým tělesem. Její objem ani povrch nelze vypočítat pomocí Pappus - Guldinových vět.

c) Koule o poloměru r.

objem	povrch
Objem koule vznikne rotací půlkruhu. Tvořícím útvarem je půlkruh (plocha).	Plášť koule vznikne rotací půlkružnice. Tvořícím útvarem je půlkružnice (čára).
plocha tvořícího útvaru poloha těžiště tvořícího útvaru	délka tvořícího útvaru poloha těžiště tvořícího útvaru

d) Válec výšky h o poloměru podstavy r.

objem	povrch
Objem válce vznikne rotací obdélníka. Tvořícím útvarem je obdélník.	Plášť válce vznikne rotací povrchové úsečky. Tvořícím útvarem je povrchová úsečka. (Pláštěm zde myslíme povrchovou plochu bez obou podstav !)
plocha tvořícího útvaru poloha těžiště tvořícího útvaru	délka tvořícího útvaru poloha těžiště tvořícího útvaru
Výsledný vzorec samozřejmě znamená součin plochy podstavy a výšky.	Výsledný vzorec samozřejmě znamená součin obvodu podstavy a výšky.
	Zde S je povrch pláště bez obou podstav ! Celkový povrch včetně podstav je: kde druhý člen 2·p·r^2 je plocha podstav.

Poznámka : Ve výkladu je použita formulace „těleso vznikne rotací ...“.

Tak to samozřejmě není. Těleso nevznikne rotací.

Těleso vznikne tak, že ho někdo vyrobí.

Uvedená formulace má pouze vyjádřit typickou charakteristiku tvaru rotačně symetrického tělesa.