Řešení a komentáře.

Špatné odpovědi jsou červené, správné odpovědi jsou zelené a podtržené.

35. Těžiště hmotné plochy (např. výstřižek z plechu) :

a) existuje,

b) neexistuje,

c) existuje pouze je-li plocha rovinná,

d) existuje a musí ležet na této ploše.

Hmotné těleso, které má charakter plochy (např. výstřižek z plechu), je těleso „jako každé jiné“.

Má své těžiště - působiště výslednice tíhových sil.

Rozdělíme-li toto těleso na jistý počet dílčích těles (dílčích ploch, dílčích plechů), pak souřadnice těžiště jsou :

Zde G_i [N] je tíha i-té dílčí plochy, x_i, y_i, z_i [m] jsou souřadnice těžiště i-té dílčí plochy, g_i [m/s²]je gravitační zrychlení v těžišti i-té dílčí plochy, r_i [kg/m³] je měrná hmotnost (hustota) materiálu i-té dílčí plochy, S_i [m²] je velikost i-té dílčí plochy, t_i [m] je tloušťka i-té dílčí plochy.

Součin V_i = S_i·t_i [m³] je objem i-té dílčí plochy, součin m_i = r_i·V_i [kg] je hmotnost i-té dílčí plochy, konečně součin G_i = m_i·g_i [N] je tíha i-té dílčí plochy.

Je-li gravitační zrychlení g ve všech bodech stejné (což budou zřejmě všechny běžné technické případy), pak jej lze jak v čitateli, tak ve jmenovateli vytknout a následně vykrátit. Souřadnice těžiště pak budou :

Je-li hustota r ve všech bodech stejná, pak ji lze jak v čitateli, tak ve jmenovateli vytknout a následně vykrátit. Souřadnice těžiště pak budou :

Konečně je-li tloušťka t ve všech bodech stejná, pak ji lze jak v čitateli, tak ve jmenovateli vytknout a následně vykrátit. Souřadnice těžiště pak budou :

c) Plocha, jejíž těžiště určujeme, může být libovolně zakřivená (zborcená). Tvar však musí být jednoznačně definovaný.

d) Těžiště plochy nemusí ležet na samotné ploše.

Typickým příkladem je těžiště povrchu koule (plášť duté koule, vyrobený z plechu), které leží ve středu kulové plochy, nikoliv na jejím povrchu.

Těžiště rovinné plochy samozřejmě leží na této ploše.