Řešení a komentáře.

Špatné odpovědi jsou červené, správné odpovědi jsou zelené a podtržené.

33. Těžiště je :

a) výslednice tíhových sil,

b) působiště výslednice tíhových sil,

c) rovnovážný bod,

d) středisko hmot.

Těžiště je působiště výslednice tíhových sil.

G = m·g tíha (tíhová síla)

Jestliže těleso rozdělíme na jistý počet dílčích těles, pak v těžišti každého dílčího tělesa působí tíha tohoto dílčího tělesa.

Všechny tíhové síly tvoří soustavu sil (za běžných okolností tvoří soustavu rovnoběžných sil).

Tato soustava sil má svou výslednici - celkovou tíhu celého tělesa.

Jako každá síla má i celková tíhová síla své působiště.

Tento bod, působiště výslednice tíhových sil, je právě těžiště.

Těžiště je působiště výslednice tíhových sil.

a) Výslednice tíhových sil je opět síla, nikoliv bod. Těžiště je bod, je to teprve působiště této výslednice.

c) Pojem „rovnovážný bod“ není jednoznačně definován.

Někdy se říká že těžiště je „rovnovážný bod“ nebo „bod, v němž je těleso v rovnováze“.

Tím se myslí že když těleso podepřeme v těžišti, nebude se „kymácet“.

To je ovšem právě důsledek toho, že „těžiště je působiště výslednice tíhových sil“.

Podepřeme-li těleso v těžišti, tíhové síly budou mít k podpoře nulový moment a těleso se nebude „kymácet“.

To je ovšem důsledek toho, jak je těžiště definováno. Nikoliv definice sama.

d) Středisko hmot, nebo též střed hmotnosti, je jednoznačně definovaný bod, který je těžišti blízký, není však s těžištěm totožný.

Souřadnice středu hmotnosti jsou :

kde m_i je hmotnost i-tého dílčího tělesa, x_i, y_i, z_i jsou souřadnice středu hmotnosti i-tého dílčího tělesa.

Souřadnice těžiště (působiště výslednice tíhových sil) jsou :

kde G_i je tíha i-tého dílčího tělesa, x_i, y_i, z_i jsou souřadnice těžiště i-tého dílčího tělesa.

Vyjádříme-li tíhu jako součin hmotnosti a gravitačního (tíhového) zrychlení, dostaneme :

Zde g_i je gravitační zrychlení v těžišti i-tého dílčího tělesa.

Je zřejmé, že pokud je gravitační zrychlení g ve všech bodech stejné, lze jej jak v čitateli tak ve jmenovateli uvedených výrazů vytknout a následně vykrátit.

Výrazy pak jsou shodné s výrazy pro střed hmotnosti.

Lze tedy formulovat závěr :

Je-li těleso malé (ve srovnání se Zemí) a je-li tedy gravitační zrychlení ve všech bodech shodné (s přijatelně malou chybou),

pak těžiště a střed hmotnosti splývají do jediného bodu.

Je-li velikost tělesa srovnatelná s rozměry Země, je třeba brát v úvahu odlišné gravitační zrychlení v jednotlivých bodech.

Těžiště a střed hmotnosti pak jsou dva odlišné body.

Je zřejmé že tato druhá situace je zcela mimořádná a v běžné technické praxi se s ní nesetkáme.