Generátor L-systémů
L-systémy
Tento typ fraktálu vytvořil Aristid Lindenmayer, proto se jim také někdy říká Lindemayerovy systémy. Lindenmayer zjistil, že i jednoduchý popis dokáže simulovat růst složitějších organismů. Dříve byly využívány pro simulaci růstu rostlin a stromů dnes jsou pro svou jednoduchost nejoblíbenější skupinou fraktálů. Kromě jiného se dnes využívají pro simulaci rostlin a stromů jak pro svou dokonalou soběpodobnost tak pro náhodnost jako jsou v přírodě větve či kořeny stromů. L-systémy jsou tvořeny řadou terminálních a neterminálých symbolů a tyto symboly je třeba převést na grafiku. K tomuto převodu se využívá tzv.Želví algoritmus. V podstatě si lze tento želví algoritmus představit jako želvičku jdoucí pískem, která pomocí svého ocásku zanechává v písku čáru.
Popis funkcí terminálů a neterminálů:
F - želvička jde po písku a ocáskem dělá do písku čaru o velikosti délce kroku
f - želvička jde po písku, opět se posune o délku kroku, ale ocásek má nahoře a čáru do písku nedělá
+ - želvička se otočí o požadovaný počet stupňů doleva
- - želvička se otočí o požadovaný počet stupňů doprava
# -želvička změní barvu, kterou bude kreslit do písku o jednu doprava (na scrollbaru pro změnu barev)
$ - změní barvu, kterou bude kreslit do písku o jednu doleva (na scrollbaru pro změnu barev)
[ - želvička si uloží do zásobníku svou aktuální pozici
] - želvička si vyzvedne ze zásobníku svou poslední uloženou pozici
Kochova vločka vzniká z trojúhelníka, je spojitá, ale v žádném bodě nemá tečnu. Každou stranu trojúhelníka rozdělíme na tři části, prostřední část vymažeme a nad touto prostřední části tohoto vztyčíme další trojúhelník.Kochovu vločku tedy tvoří lomená čára, která nikdy neprotne sama sebe a jejíž obvod je nekonečně dlouhý, zatímco plocha ohraničená touto křivkou konvertuje k určité hodnotě (8/5 obsahu původního trojúhelníka).Nejlépe uvidíte vývoj Kochovy křivka když si v generátoru L-systému budete vykreslovat Kochovu křivku s počtem iterací od 0 do 10. Kochovu křivku popsal v roce 1904 švédský matematik Helge von Koch, po kterém je taky pojmenována.
Kochův ostrov je modifikací Kochovy vločky. Rozdíl je v tom, že se nezačíná z trojúhelníka, ale ze čtverce.
Sierpinského trojúhelník vzniká tak, že si vezmeme si trojúhelník a z tohoto trojúhelníku vyřežeme další trojúhelník pomocí středních příček předchozího trojúhelníku. Ve výsledku dosáhneme nekonečně mnoha trojúhelníků s obsahem plochy jdoucím k nule. Opět nejlépe uvidíte vývoj Sierpinského trojúhelníku v generátoru L-systému při změně počtu iterací od 0 do 10.
Dračí křivka vzniká generováním dvou nových rovnoramenných trojúhelníků tak, že svými přeponami leží na odvěsnách předchozího trojúhelníka. U nových trojúhelníku je třeba aby jeden z nich ležel vně mateřského trojúhelníka a druhý vevnitř. Postup opakujeme pro každou další generaci a pro všechny trojúhelníky.
Cantorovo diskontinuum je jedním z nejjednodušších fraktálních útvarů. Vzniká rozdělením úsečky libovolné délky na 3 stejné části, prostřední část smažeme a zbývající části opět rozdělíme. Délka těchto nekonečně mnoha úsečka se blíží k nule a počet bodů úseček konvertuje k nekonečnu.